Výroková matematika

Protože běžný lidský jazyk je mnohdy nepřesný, může docházet k nejasnostem při formulaci některých skutečností. Takto by mohlo vzniknout mnoho omylů i v matematice, fyzice, chemii, programovacích jazycích atd. Z tohoto důvodu je vytvořena přesná výroková matematika (logika).

Základní logika a logické spojky:

  • Jazyk logiky: 
    • Výrokové symboly jsou definovány pomocí znaků a jejich číslování: A, a, a, a1, a2, … x, y, z …
    • Jako operátory se používají výrokové spojky: ∧ ∨ ⇒ …
    • Celé formule se označují řeckými znaky: α, β, … ϒ, δ …
    • Pro zpřehlednění je možno využít závorky ().
  • Logická pravda:
    • Udává, že je výrok pravdivý.
    • Čísla 4 a 6 jsou dělitelné dvěma – pravda.
    • V logice a výpočetní technice se značí pravda jako: 1 , t, true.
  • Logická nepravda, lež: 
    • Udává, že je výrok nepravdivý.
    • Čísla 3 a 7 jsou dělitelné dvěma – nepravda.
    • V logice a výpočetní technice se značí nepravda jako: 0 , f, false.
  • Konjunkce:
    • Značí se: ∧
    • Váže se na dva symboly (je binární).
    • Logické a, a zároveň, and.
    • Kup jablka a hrušky. (Koupí oba druhy ovoce).
    • Jablka ∧ Hrušky
  • Disjunkce:
    • Značí se: ∨
    • Váže se na dva symboly (je binární).
    • Logické nebo, or.
    • Kup jablka nebo hrušky. (Koupí buď jen jablka nebo jen hrušky. Koupí jen jedno ovoce).
    • Jablka ∨ Hrušky
  • Negace:
    • Značí se: ¬
    • Váže se na jeden symbol (je unární).
    • Logický opak, not.
    • Negace tvrzení „Prší“ je „Neprší„.
    • Tvrzení x = Prší. Pak ¬ x = Neprší.
  • Implikace:
    • Značí se: ⇒
    • Váže se na dva symboly (je binární).
    • Logické vyjádření příčiny a následku. Pak, pakliže.
    • Prší, pak je silnice mokrá.
    • Prší ⇒ pak je silnice mokrá.
    • Nelze otočit směr výroku. Silnice může být mokrá i z jiných příčin – nevyvolá déšť.
  • Ekvivalence:
    • Značí se: ⇔
    • Váže se na dva symboly (je binární).
    • Vyjádření právě tehdy, právě když.
    • Miliardy peněz umožňují velkou moc.
    • Miliardy peněz ⇔ Velká moc.
  • Rovnost výroků:
    • Značí se: =
    • Váže se na dva symboly (je binární).
    • Udává, zda-li jsou výroky v daném ohledu rovny.
    • 10 = 10
  • Nerovnost výroků:
    • Značí se: ≠
    • Váže se na dva symboly (je binární).
    • Udává, zda-li jsou výroky v daném ohledu rovny.
    • 10 ≠ 14

Atomické výroky a formule:

  • Atomický výrok:
    • Je výrok s využitím jedné výrokové spojky jenž nelze dále dělit.
    • Když prší, tak jsou silnice mokré. (Atomický výrok jenž nelze dále dělit).
    • Když prší, tak jsou silnice mokré, a když mrzne, tak i zledovatělé. (Výrok lze dále dělit a proto není atomický).
    • Ověřuje se, zda-li atomický výraz dává v daném kontextu smysl. (Když prší, tak jsou silnice jablko. – Výrok nedává smysl.)
  • Formule:
    • Formule je spojení atomických výroků do složitějších, výsledných celků.
    • Když prší, tak jsou silnice mokré, a když mrzne, tak i zledovatělé.
    • Pro usnadnění složitých formulí lze využívat závorky: (X ∧ (¬Y)).
    • Ověřuje se, pravdivost celé formule.
  • Pravdivostní ohodnocení: 
    • Značí se e
    • Určuje, zda-li je symbol, atomický výraz nebo celá formule pravda či nepravda (1 či 0)
    • e(x) = 1
  • Tautologie (zdvojení): 
    • Je formule jenž má pravdivostní ohodnocení 1 (pravda) při libovolných hodnotách atomických výrazů.
    • Buď bude zítra hezky, nebo nebude zítra hezky.
  • Kontradikce (vyloučení): 
    • Je formule jenž má pravdivostní ohodnocení 0 (nepravda) při libovolných hodnotách atomických výrazů.
    • Jablko je červené, jablko není červené.
  • Kontrární výrok (protimluv): 
    • Je v podstatě nelogická formule. V logice 1 a 0 nelze využívat. Lze aplikovat až např. v kvantové kryptografii.
    • Jablko je červené, jablko je zelené.
  • Splnitelnost formule: 
    • Pokud lze dosáhnout pravdivosti formule (lze nalézt alespoň jedno pravdivostní tvrzení), pak je považována za splnitelnou.
  • Ekvivalence formule: 
    • Pokud dvě různé formule obsahující stejné atomické výroky v různém uspořádání dosáhnou stejného pravdivostního ohodnocení, pak jsou ekvivalentní.

Booleanovské vyhodnocení logiky:

  • Konjunkce:
    • Tabulkový zápis logického součinu – a. Pokud je A i B 1, pak u jejich log. součin je 1.
A­   B   A ∧ B
0   0     0
0   1     0
1   0     0
1   1     1

 

  • Disjunkce:
    • Tabulkový zápis logického součtu – nebo. Pokud je A nebo B 1, pak u jejich log. součet je 1.
A­   B   A ∨ B
0   0     0
0   1     1
1   0     1
1   1     1
  • Negace:
    • Tabulkový zápis logické negace – opak.
A­    ¬A
0     1
1     0
  • Implikace:
    • Tabulkový zápis.
X   Y   X ⇒ Y
0   0     1
0   1     1
1   0     0
1   1     1
  • Ekvivalence:
    • Tabulkový zápis.
X­   Y   X ⇔ Y
0   0     1
0   1     0
1   0     0
1   1     1
  • Tabulkové vyhodnocení formule:
    • Tabulkové vyhodnocení formule p ∨ (p ⇒ ¬q) 
p­   q    ¬q   p ⇒ ¬q     p ∨ (p ⇒ ¬q)
0   0     1      1             1
0   1     0      1             1
1   0     1      1             1
1   1     0      0             1